Józef Straszewski urodził się 18 stycznia 1885 r. we Włocławku. W rodzinnym mieście ukończył pierwsze trzy klasy szkoły podstawowej, po czym uczył się prywatnie. Po skończeniu nauki w gimnazjum wstąpił do seminarium duchownego we Włocławku. 18 czerwca 1911 r. w rodzinnym mieście przyjął święcenia kapłańskie.
Swoją posługę duszpasterską rozpoczął od parafii pw. Nawiedzenia Najświętszej Maryi Panny w Rozprzy. Po pół roku skierowano go jako wikariusza do parafii pw. św. Wawrzyńca w Borownie. Ówczesny proboszcz tej parafii, ks. Michał Ziarniewicz, był już w podeszłym wieku. W 1917 r. został - po śmierci ks. Ziarniewicza - przeniesiony do parafii pw. św. Jakuba Apostoła w Krzepicach. Po kolejnych czterech latach został wikariuszem parafii katedralnej pw. Wniebowzięcia Najświętszej Maryi Panny we Włocławku, a także prefektem w tamtejszej Państwowej Szkole Handlowej. W każdej parafii, w której dane mu było posługiwać, szybko zdobywał zaufanie i szacunek powierzonej mu owczarni.
22 lutego 1922 r. został powołany przez biskupa na proboszcza nowo powstałej parafii pw. św. Stanisława biskupa i męczennika we Włocławku. Parafia nie posiadała świątyni, ks. Józef rozpoczął budowę kościoła. Wbrew wielu trudnościom sprawił, że na obrzeżach ówczesnego Włocławka powstała duża świątynia, służąca ubogiej i nieodznaczającej się zbytnio poprawną postawą moralną społeczności parafian. Prace budowlane postępowały bardzo szybko. Już 31 grudnia 1922 r. bp Zdzitowiecki poświęcił tymczasowy kościół-kaplicę. Prace nad właściwą świątynią rozpoczęto w 1925 r. Rok później bp Wojciech Stanisław Owczarek poświęcił fundamenty i przewodniczył wmurowaniu aktu erekcyjnego nowego kościoła. Do 1939 r. wybudowano i oddano do użytku nawę główną, nawy boczne i dwie zakrystie.
Mimo nawału prac związanych ze wznoszeniem kościoła ks. Józef nie zaniedbywał obowiązków duszpasterskich. Wykorzystywał przy tym wszelkie dostępne wówczas środki przekazu: uruchomił na przykład - mimo trwającej budowy - salę parafialną, w której wyświetlał religijno-oświatowe filmy. Zorganizował też ośrodek Caritasu. Był niezwykle oczytanym kapłanem, zainteresowanym w szczególności pogłębianiem wiedzy teologicznej. Jego osobisty księgozbiór liczył ponad tysiąc poważniejszych pozycji.
Po wybuchu wojny Niemcy rozpoczęli okupację od Intelligenzaktion - programu fizycznej likwidacji polskiej inteligencji i warstw przywódczych. W dziesiątkach miejsc w 1939 r. mordowali polskich kapłanów, nauczycieli, pracowników urzędów państwowych. Podobną zbrodniczą politykę stosowali Rosjanie na terenach przez siebie zajętych. Józef został aresztowany, wraz z innymi kapłanami swojej diecezji, 7 listopada 1939 r. i osadzony we włocławskim więzieniu karnym.
16 stycznia 1940 r. przewieziono go do Lądu, gdzie w klasztorze salezjanów Niemcy zorganizowali przejściowy obóz dla duchowieństwa. Stamtąd przewieziono go do obozu koncentracyjnego Sachsenhausen, niedaleko Berlina, a po kilku tygodniach, 25 kwietnia 1941 r., do Dachau w Bawarii, gdzie Niemcy zgromadzili tysiące aresztowanych polskich kapłanów. Odtąd był tylko numerem 24545.
Józef znosił wszelkie poniżanie, tortury i nieludzkie warunki pracy z cierpliwością, bez narzekania. Dał się poznać jako człowiek zrównoważony i pogodny, służący wszystkim jako kierownik duchowy w sakramencie pokuty. Trwał w nieustannej modlitwie, rozważał mękę Pańską i w niej widział wzór i źródło siły dla znoszenia losu z prawdziwie chrześcijańską odwagą.
W 1942 r. Niemcy rozpoczęli akcję fizycznej likwidacji kapłanów - więźniów Dachau. Wywozili ich w tzw. transportach "inwalidów" do austriackiego ośrodka eutanazyjnego na zamku Hartheim w Austrii, gdzie w ramach zorganizowanej Aktion T4 – "likwidacji życia niewartego życia" - mordowali w szczególności osoby niedorozwinięte umysłowo, przewlekle chore psychicznie i neurologicznie. 12 sierpnia 1942 r. Józef w takim transporcie, z liczną grupą innych więźniów, został wywieziony z Dachau. Zamordowano go w Hartheim, w komorze gazowej. Ciało spalono w krematorium.
Beatyfikowany został przez św. Jana Pawła II w Warszawie 13 czerwca 1999 r. w gronie 108 polskich męczenników II wojny światowej.